«С иксами задачи» и другие дефектные паттерны
— Я думал, что гипотенуза —
Река Советского Союза.С.Я. Маршак. Про одного ученика и шесть единиц
Главная роль в формировании у ребенка рационального мышления традиционно отводится математике. Собственно говоря, положение о том, что математика (наряду с родным языком) является фундаментом для всего образования, давно является общим местом. Никто, кажется, и не пытается оспаривать важности знакомства с математическими понятиями и методами в самом начале образовательного пути. Так формируются важнейшие паттерны, которые в дальнейшем определяют уровень математической культуры.
Математика — предмет универсальный, его преподавали и преподают всегда, всем и повсюду. Его содержание считается объективным. Это выделяет математику из ряда других дисциплин, изучаемых в начальной школе. Содержание остальных предметов в значительной степени определяется образовательной политикой конкретной страны и другими субъективными факторами. Целью преподавания этих дисциплин, в частности, является формирование определенного мировоззрения, связанного с национальной традицией и культурной идентичностью. Педагоги справедливо считают, что именно в это время определяются многие личностные характеристики, и уделяют особое внимание формированию желаемых поведенческих и мыслительных стереотипов.
Математика при этом оказывается «не в фокусе» внимания, методы ее преподавания не меняются на протяжении многих поколений. Но ведь и математика вносит свой вклад в формирование мировоззрения ребенка, определяя его отношение к различным явлениям и процессам, с которыми он сталкивается в окружающем мире. Особенность математики в том, что она имеет дело с абстрактными понятиями. Казалось бы, когнитивный процесс здесь предельно определен: абстракции либо воспринимаются ребенком, либо нет. Никакой связи с личностным развитием здесь, как правило, не ищут.
На самом деле есть опасность, что неправильно преподаваемая и ложно понятая математика порождает дефектные паттерны, и человек теряет способность к корректным умозаключениям. В предельно жесткой форме эту ментальную деформацию определил Бертран Рассел:
«Люди родятся невежественными, а не глупыми. Глупыми их делает образование».
Дефект мышления может потом проявиться в любой деятельности. Особенно велик риск, если эта деятельность так или иначе связана с абстрактными понятиями. И если считать, что адекватное понимание законов окружающего мира — это тоже составляющая мировоззрения, то для полноценного психологического формирования человека математика важна не меньше, чем гуманитарные дисциплины. Обращаясь к классификации, намеченной в предыдущем разделе, можно сказать, что правильное изучение математики позволяет установить рациональный баланс между догматическим и модельным мышлением.
Но, изучая математику, никогда не стоит забывать, что любая модель — это упрощение. Здесь кроется серьезная опасность: мир теряет свою сложность и упрощается в наших глазах до границ используемой модели. Наш мыслительный аппарат привыкает к модельному представлению настолько, что уже не может адекватно оценить реальные объекты и процессы.
Традиция преподавания математики в школе сложилась достаточно давно, и многие приемы воспринимаются как естественные и чуть ли не единственно возможные. Чувствительность и пластичность детской психики такова, что не значащие на первый взгляд детали существенно меняют паттерн. Например, многие поколения детей учились считать, решать учебные примеры и задачи, выполняя операции с цифрами. Математика начиналась с арифметики, в младших классах учились считать. А потом в какой-то момент методистами было принято решение о том, что уже на начальном этапе обучения надо включать элементы алгебры. По сути вроде бы ничего не изменилось, задачи те же. Но решать их предлагалось по-другому. В первом классе появились иксы и игреки. Тем самым дети проскочили почти «без остановки» определенный этап развития абстрактного мышления — операции с числами. «Арифметический» модельный паттерн толком не сформировался, а был вытеснен «алгебраическим». Хорошо это или плохо? С математической точки зрения, скорее, хорошо. А вот с точки зрения когнитивного развития, скорее, плохо, потому что ребенок незаметно приучается к тому, что главное в решении задачи — вывести правильную формулу, а не получить точное число. Формальное описание задачи становится важнее, чем ее решение. Алгебраическое выражение или правило, заученное в «общем виде», подсознательно воспринимается как главный результат, а числовое — как второстепенный.
Выдающийся математик академик В.И. Арнольд (много писавший о проблемах образования) приводил, опираясь на свой богатый опыт общения с учащимися и выпускниками французских школ, такой колоритный пример порочности формального подхода к преподаванию математики. По его словам, если спросить французского школьника, сколько будет 3+5, он должен (по замыслу педагогов) отвечать, что 3+5 будет равно 5+3. Знание формулы важнее, чем итоговый результат. Думаю, что эта история, скорее, похожа на анекдот, но анекдот, согласитесь, довольно характерный.
Следствием такой психологической установки часто становится пренебрежение к точности счета и неумение оценить достоверность результата. Если первое в эпоху калькуляторов кажется не столь уж важным, то отсутствие навыков проверки правильности полученного ответа — серьезный недостаток для специалистов самых разных профессий. На первый взгляд, нет ничего плохого в том, что человек не в состоянии прогнозировать и проверять результат расчета, если считает все равно компьютер. Но в том-то и дело, что компьютер вполне может давать неверный ответ, если в него заложен некорректный алгоритм или введены ошибочные данные. А человек теряет контроль за инженерными или экономическими расчетами, если не знает способов проверить значение искомой величины, полученное компьютерной программой.
Так, казалось бы, незначительное изменение методики преподавания может привести к смене психологических установок. Они позднее могут негативно проявиться в процессе интеллектуальной деятельности и даже в некотором смысле исказить мировоззрение, формируя у человека некритическое отношение к результатам, полученным в «черном ящике». Знаю и по себе, как привычка решать задачу в общем виде мешает оперировать с числами и прогнозировать конкретный результат даже по порядку величины. Такой паттерн у меня сложился в школе, теперь ничего с этим не поделаешь.
Можно приводить и другие примеры того, как устоявшиеся методы преподавания математики формируют достаточно жесткие паттерны, которые в дальнейшем препятствуют освоению иных способов мышления. Например, считается методически правильным визуализировать понятие функции с помощью построения графиков. Сначала строятся графики в виде прямых — линейные функции, потом появляются кривые: параболы, гиперболы и т.д. Казалось бы, что тут опасного. Но при построении графиков в неявном виде «протаскиваются» некоторые важные допущения. Например, графики строятся на бумаге или на доске, они плоские. Поэтому все функции имеют только одну переменную. Строить трехмерные графики в школе учить не привыкли (это и к физике относится). Такое положение объяснимо: предыдущие поколения педагогов и учащихся не имели соответствующих инструментов. Но у нас сегодня есть в распоряжении разнообразные компьютерные программы, которые могли бы помочь научиться строить графики не только на плоскости. А учителя в массе своей продолжают учить по-прежнему, и основным дидактическим материалом остается бумажный учебник с теми же примерами, иллюстрируемыми теми же плоскими картинками.
Визуализация в пространстве не развивается, а подавляется визуализацией на плоскости. Вроде бы все делается по апробированным методикам, а в результате страдает пространственное воображение.
Чтобы показать, каким неожиданным образом может обернуться недостаточность плоского восприятия мира, хочу призвать себе на помощь авторитетного автора, хотя его имя в этом контексте может показаться весьма неожиданным. Это австрийский поэт Райнер Мария Рильке. Вот фрагмент из его притчи под знаковым названием «Как на Руси появилась измена»:
«…чтение по карте портит людей. Там все плоско и вразумительно, и когда они видят меридианы и параллели, им кажется, что больше ничего и не надо. Но страна — не атлас. На ней есть горы и бездны. И вверху и внизу она ведь тоже с чем-то соприкасается».
Рильке Р.М. Рассказы о Господе Боге. Цит. по http://lib.ru/POEZIQ/RILKE/
skazki.txt
В этом художественном тексте речь идет о том, насколько жизнь сложнее, чем привычное представление о ней, сформированное плоской картинкой.
Но вернемся к проблемам обучения. Итак, ребенок привыкает иметь дело с упрощенными моделями и с трудом осваивает учебный материал, не сводимый к двум измерениям. Мне кажется, это похоже на то, о чем пишет Артемий Лебедев: сформирован психологический стереотип, не поддерживающий восприятие определенных типов информации (в данном случае, восприятие пространственных объектов). И какой же отсюда вывод? Элементарные паттерны, формируемые на начальном этапе образования, задолго до выбора специализации, могут играть как позитивную, так и негативную роль в развитии интеллектуального потенциала ребенка. Как говорит Жванецкий, «щительнее надо».