Математическое обеспечение
Дело не в сухом расчете,
Дело в мировом законе.Б.А. Слуцкий. Физики и лирики
Боюсь, что идею общей междисциплинарной платформы для интеграции наук и инженерных приложений не одобрят многие мои сверстники, привыкшие к мысли, что фундамент научно-технического обучения — это обязательно математика. Мне самому немного страшно вести об этом разговор, но надо, по крайней мере, убедиться, что привычное доминирование математики в обучении оправдано требованиями сегодняшнего дня. Должны же быть какие-то аргументы, кроме бесконечных ссылок на знаменитое высказывание Ломоносова. К тому же, как выпускник математической школы, я отчетливо понимаю, что в этой формулировке вовсе не утверждается, что такой целительный эффект дает только математика. Условие достаточное, но не необходимое… Нельзя исключить, что существуют и другие способы наведения порядка — «в уму».
С одной стороны, отечественная школа по праву гордится успехами математического образования. С другой стороны — результаты ЕГЭ по этому предмету вроде бы не дают поводов для торжеств в массовых масштабах. Может быть, и в программе по математике пора кое-что подправить? И так ли уж обязательна математическая строгость на всех ступенях обучения?
Сегодня логика построения школьной программы требует опережающего изучения основ математики по сравнению, например, с физикой. Нужно сначала научить школьников решать, скажем, квадратные уравнения и только потом приступить к изучению кинематики. Как уже упоминалось, физику и другие частные науки изучают «в два подхода»: сначала в основной, а потом в старшей школе. Отчасти это как раз и объясняются тем, что на уровне 6–7 классов математических знаний еще не хватает для полноценного усвоения физических законов, которые у нас непременно преподаются в математической форме.
На практике, однако, все равно выясняется, что синхронизировать программы по математике и физике в полной мере не удается. Всегда оказывается, что учитель физики должен сам вводить и пояснять математические понятия: векторы, тригонометрические функции и т.д., потому что его аудитория приходит к изучению соответствующих разделов механики или электромагнетизма без необходимого математического багажа.
Такое положение дел плохо сказывается и на эффективности обучения собственно математике. Математический аппарат, оторванный от приложений, становится некой абсолютно формальной системой, поводом для тренировки, цели которой ребенку, как правило, никто не удосуживается объяснить. Выполняем преобразования, решаем уравнения, строим графики, а зачем — непонятно. Изучение разделов математики выглядит для школьников самоцелью. Успешно справляться с подобными задачами могут далеко не все. Получается так: усиливая крен в математику, чтобы подготовить к фундаментальному изучению естественных наук, мы отсекаем от физики и биологии тех, у кого (пока?) недостаточно развито абстрактное мышление. Если нет особых склонностей к умозрительным рассуждениям, к «игре ума», на первый план выходит дисциплина, заставляющая ребенка решать примеры и задачи «на технику».
Это совсем не безобидно и в психологическом отношении: вместо модельного паттерна, характерного для математиков, школа на самом деле способствует формированию догматического, основанного на зубрежке правил и формальной отработке стандартных приемов. Понимания значимости и красоты мира математики при таком отношении возникнуть просто не может. Но и тех, для кого математика не является непреодолимым барьером, школьный курс стремится загрузить решением задач формального характера. Это естественным образом вытекает из предметного деления на математику и остальные науки. Не будучи ориентированной на прикладные задачи, математика становится предельно абстрактной дисциплиной. Это, вероятно, неплохо на старшей ступени, когда многие подростки уже выбирают себе профессию. Но в основной школе математика, оторванная от других дисциплин, скорее, отвращает от модельного мышления, чем развивает его.
Но вернемся к естественным наукам. Очевидно, что уже в древности вычисления стали неотъемлемой частью исследования. Если изучать историю естествознания, то мы увидим, как постепенно усложняются методы обработки числовой информации. Как по мере появления новых проблем совершенствуется математический аппарат. Уравнения, графики, геометрические чертежи возникают не сами по себе, а в качестве инструментария исследователя. Так происходит во всех частных науках, где-то раньше, где-то позже. Астрономия, физика, география — развитие познания стало невозможным без соответствующих математических моделей и методов обработки результатов наблюдений и опытов.
Несколько отстала в этом плане биология. Она долгое время оставалась чисто описательной областью знаний. Одним из первых, но очень значимых примеров использования вычислений в этой сфере стало исследование системы кровообращения. Считалось, что кровь постоянно создается в организме кроветворными органами, которые снабжают сердце кровью, затем распространяющейся по сосудам и всасываемой различными тканями. Уильям Гарвей строго математически доказал, что эта гипотеза несостоятельна. Экспериментируя на овцах, он вычислил объем крови, перегоняемый сердцем за определенное время, и подсчитал, что вес этой крови превышает собственный вес животного. Очевидно, кроветворные органы не могут производить такое количество новой жидкости, тем самым было доказано, что кровь используется в организме многократно, то есть существует система кровообращения.
На мой взгляд, это очень поучительный пример, который показывает, как математические вычисления помогают решить поставленную проблему. Знакомство с методологией подобных исследований в разных частных науках может существенно повлиять на отношение школьников к математике. Она перестанет быть поводом для формальной тренировки и займет свое место в теории и практике познания.
«Умение составлять адекватные математиче- ские модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования».
Формулировка принадлежит академику В.И. Арнольду, на авторитетное мнение которого я уже ссылался в предыдущих частях.
4. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.: Издательство МЦНМО, 2004.
Вообще хочется отметить, что изучение в основной школе истории исследований, внесших свой вклад в современное понимание окружающего мира, могло бы стать очень полезным для развития интеллектуальных способностей. Оно может происходить, в том числе, в форме реконструкции, воспроизведения рассуждений и методов исследования конкретного ученого на специальной учебной модели. Это позволит в логике исследования подвести к пониманию явлений окружающего мира и одновременно путей познания. Школьники смогут осознать значимость математических моделей и методов, сформируется соответствующий стиль мышления, основанный на сочетании модельного и поискового паттернов.
Теперь посмотрим на эту проблему с другой стороны. Как уже говорилось, программа по математике построена весьма традиционно. Перечень разделов практически не меняется от поколения к поколению. Целью изучения предмета остается детальное изучение сравнительно небольшого числа математических моделей и методов. Много времени отводится на заучивание правил (аксиом, постулатов, теорем) и на практическое решение типовых задач с целью отработать навыки формальных рассуждений и технику вычислений.
В то же время многие разделы математики как науки остаются вне рассмотрения, даже не упоминаются. Насколько это правильно с точки зрения формирования кругозора в сфере частных дисциплин? Конечно, все охватить невозможно, но разумно было бы проанализировать, какие математические методы востребованы сегодня в физике, биологии, географии, астрономии, других частных науках. Ведь за последние 100–150 лет математический аппарат, используемый исследователями, очень существенно изменился. Это произошло объективно, в процессе познания. Можно себе представить, насколько психологически сложным был для физиков рубежа XIX–XX веков отказ от классических представлений. Идея дискретности процессов, происходящих в реальном мире, конфликтовала с привычным, выработанным веками математическим паттерном, основанным на представлении о непрерывных функциях. Этот паттерн был сформирован работами Ньютона и доминировал до появления релятивистской физики. Это всем известно, но вот вопрос: как быть сегодня? Какие математические модели следует включать в школьную программу, чтобы выпускники исподволь привыкали к определенному типу представлений о природе и не сталкивались, начиная профессионально заниматься физикой, с теми же психологическими проблемами перехода от непрерывного мира к дискретному?
Дискретная математика — это только один пример. Нужны теория вероятности, факторный анализ, комплексные числа. Разумеется, речь не идет о том, чтобы подробно изучать в основной школе все эти (и многие другие) разделы математики. Задача в том, чтобы выявить связь методологии частных дисциплин с определенным математическим аппаратом и на учебных моделях приучить школьников рассуждать, строить умозаключения, производить вычисления в логике соответствующих понятий и операций. В результате будет сформирован математический кругозор, предполагающий способность выбрать для решения той или иной научной или практической проблемы соответствующую математическую модель, применить необходимые методы и проанализировать полученный результат как с содержательной (предметной), так и с формальной (математической) точки зрения. На какой же платформе можно добиться такого познавательного единства формы и содержания?