В поисках самого-самого оптимального
Если вам кажется, что ситуация улучшается,
значит, вы чего-то не заметили.Эффект Чизхолма
В предыдущем разделе было рассмотрено несколько примеров того, как самые простые понятия, относящиеся к начальной стадии математического образования, формируют устойчивые паттерны, которые впоследствии могут проявиться самым неожиданным образом. Казалось бы, это проблема частная: не всем же быть математиками. Но важно понимать, что ложные стереотипы мешают совсем не тем, кто выбрал математику или ее приложения в качестве профессии. Они-то на последующих ступенях образования получат возможность развить свои способности, расширить кругозор и обогатить сформированные в детстве паттерны за счет всестороннего изучения точных наук, включая их методологию.
Проблема в том, что неполные и искаженные представления о фундаментальных понятиях останутся у тех, кто выбрал себе другие специализации, далекие от математики. Есть известный афоризм: «Если у человека нет чувства юмора, у него, по крайней мере, должно быть чувство, что у него нет чувства юмора». То же самое и с паттернами. Человек должен понимать на каком-то минимальном уровне существо проблемы и представлять, какие методы (средства, ресурсы) требуются для ее решения, даже если он не является экспертом в данной области. Поэтому педагогам следует обращать внимание не только на то, как ребенок воспринимает учебный материал, к которому у него имеется предрасположенность. Важно и то, какой интеллектуальный багаж он вынесет из изучения предметов, требующих от него более значительных усилий. Поверхностное обучение, не достигающее сознания ребенка, может сформировать искаженное представление о фундаментальных понятиях и методах той или иной области знаний. В таких обстоятельствах мы получаем результат, худший, чем незнание. Мы культивируем заблуждения. И если на последующих ступенях образования эти заблуждения не будут развеяны, они станут чрезвычайно устойчивой частью человеческого сознания. Психологическое восприятие различных проблем, с которыми придется сталкиваться в профессиональной деятельности (да и в быту), будет основываться на неадекватных действительности стереотипах. А это чревато серьезными ошибками в принятии решений.
Позволю себе еще один пример. Вот еще одно «невинное» допущение, характерное для модельного паттерна, формируемого школьной математикой, — идея непрерывности любой функции. Чтобы лучше усвоить закономерности, описываемые различными функциями, в школе учат строить графики. Идею графика объясняют, расставляя точки в соответствии со значениям двух координат: аргумента и функции. Тогда вроде бы визуальное представление должно быть дискретным — просто набор точек на плоскости. Но уже на этом этапе незаметно навязывается идея соединить эти точки непрерывной линией и получить график. С одной стороны, это соответствует переходу от частного к общему — индукция. По отдельным точкам делается обобщение, получается функция, описываемая аналитической зависимостью. Но есть опасность привыкания к образу непрерывной линии, которая психологически приучает нас к тому, что все функции являются гладкими, непрерывными. Много позднее, когда в старших классах изучают основы математического анализа, этот паттерн уже сформирован. Любые разрывы функций считаются отклонением от нормы, такие функции не исследуются, просто отбрасываются. Но они не просто исключаются из изучаемого курса, они становятся чуждыми мышлению. Для овладения техникой дифференцирования и интегрирования это очень удобный паттерн. Поэтому его так охотно культивируют в традиционной программе изучения математики.
Но в жизни гораздо чаще встречаются функции, не похожие на изучаемые в школе. Понятие непрерывности подразумевает, что малому изменению исходных параметров (аргументов) соответствуют незначительные же изменения функций. Человек, привыкший рассматривать все функции как непрерывные, просто психологически не готов анализировать ситуации, когда свойство непрерывности нарушается. Представим себе такую ситуацию: человек стремится успеть на поезд, но при этом хочет потратить на дорогу как можно меньше времени. Если он приедет на вокзал за час до отхода поезда, он потратит этот час впустую. Если приехать за 10 минут, то потери сократятся. Обобщаем ситуацию, основываясь на том, что функция непрерывна, и получаем, что нужно войти в вагон в момент отправления поезда. В математическом смысле это решение оптимальное — минимум потерь. Но беда в том, что функция в момент отправления перестает быть непрерывной. Оптимальное решение чревато риском опоздать на поезд и потратить очень много времени, ожидая следующего. Казалось бы, любой человек, обладающий здравым смыслом, должен понимать опасность оптимального решения. Почему же мы так часто сталкиваемся в жизни со стремлением к оптимизации (даже в такой банальной ситуации, как дорога на вокзал)?
Мне представляется, что многие люди, планируя свои действия, подсознательно опираются на сформированный еще в школе паттерн непрерывного развития процессов. Напротив, если бы при обучении больше внимания уделялось дискретным функциям, то многие избежали бы логических ошибок, ведущих к неправильным решениям. Другими словами, идея «оптимизации» интуитивно понятна, а вот возможность неустойчивости оптимального решения (то есть кардинального изменения поведения функции при малых изменениях аргументов) большинству людей внутренне чужда, так как не поддерживается соответствующим паттерном.
Эта психологическая неготовность задумываться об устойчивости поведения тех или иных объектов или систем совсем не безобидна. Слишком часто важные управленческие решения принимаются на основе ложно понимаемой оптимизации ресурсов, производимой в точном соответствии с логикой человека, впрыгивающего в отходящий поезд, чтобы не тратить ни минуты на ожидание.
Так, например, рассуждают некоторые излишне оптимистичные сторонники формального централизованного планирования. Оно могло бы работать, если бы экономические и другие сложные процессы разворачивались в идеальной среде. Тогда бы все факторы учитывались, лишние ресурсы не расходовались, никаких потерь не возникало. Но в огромной социальной системе отклонения от идеальных условий неизбежны, и надо бы готовым к тому, что издержки от неоптимальности поведения системы планирования могут оказаться весьма значительными (как в случае опоздания на поезд).
Значит, на первый план выходит проблема устойчивости оптимального решения. Об этом хорошо знают профессиональные математики и экономисты. В Интернете можно найти лекцию академика В.И. Арнольда (о котором я уже упоминал), посвященную как раз этой теме — устойчивости решений. Он прочел ее не кому-нибудь, а депутатам Государственной Думы, надеясь хоть как-то просветить наших законодателей. Но, судя по всему, у руководителей, принимающих решения, правильное понимание процессов оптимизации уже не может быть сформировано. Как-то неправильно их учили в школе…
Отчего возникают проблемы с математикой и, шире говоря, с умением решать интеллектуальные задачи с высокой степенью абстракции? Иногда это происходит из-за неверной методики преподавания, иногда из-за перегрузки учебной программы, но всегда формирование ошибочного стереотипа связано с тем, что преподаватель не следит за усвоением ключевых понятий, а проверяет лишь формальное выполнение конкретных заданий. Можно сказать, что существует две опасности: совсем не познакомить ребенка с базовыми понятиями и методами математики или перегрузить его излишним набором конкретных сведений, закрепляемых тренингами, нацеленными на формирование технических навыков. Баланс между «инструктивным» действием, основанным на догматическом стиле, и модельным мышлением нарушается в сторону инструментального тренинга. Для многих эти навыки еще в процессе обучения кажутся (и действительно впоследствии оказываются) излишними. Снижается мотивация, а с ней — и результаты учебы. Таким детям было бы лучше остановиться на стадии, когда математические категории преподносятся как элементы картины мира, своего рода правила игры, а не как теоретическая основа для суммы формальных приемов и преобразований, подлежащих закреплению путем выполнения технических упражнений.
Если воспользоваться шахматной аналогией, то полезно знать правила, уметь решать несложные композиции, получать эстетическое удовольствие от классических партий и комбинаций. Наконец, полезно играть с примерно равными по силам партнерами. А вот учить шахматную теорию — это для тех, кто хочет стать профессионалом в этой области.